Esta es mi entrada para el 2º Carnaval de Matemáticas y si me dejan para el 5º Carnaval de Física. Y ya que estamos también para el 1er Carnaval de Informática que aún no se ha organizado.
En esta entrada, analizaremos un método para calcular, o al menos estimar el potencial eléctrico en configuraciones en 2D, por supuesto se puede extender a 3D pero aquí solo trataremos lo básico del método.
Según donde se consulta se obtiene un nombre u otro, aunque el método es el mismo. En esencia se trata de un método iterativo para resolver las distribuciones de potencial presentes en la superficie a analizar.
La esencia del método es muy simple, se basa en las diferenciales finitas y en las condiciones de contorno del problema que tenemos que tratar. Para ello, estudiaremos el desarrollo de Taylor de la función potencial alrededor de un punto cualquiera del interior. En especial, desarrollaremos la función hasta la segunda derivada y despreciaremos los términos de orden superior.
Como podemos ver, queda el potencial del punto, contribuciones con primeras y segundas derivadas multiplicadas por laa distancia al punto desde el que hemos desarrollado la serie. En el esquema que utilizaremos para resolver este problema del potencial, emplearemos una red de puntos, sobre los que calcularemos el potencial, que son equidistantes. Por tanto, P1 P2 P3 P4 son equidistantes al punto central P. Y el valor del potencial en cada uno de esos puntos será, de acuerdo al desarrollo anterior
Sumando los anteriores resultados, llegamos a la siguiente ecuación.
Que se puede simplificar utilizando la ecuación de Laplace, y por lo tanto llegamos a la conclusión de que el potencial en el centro puede ser hallado como la media de los valores de los cuatro puntos que lo rodean:
Por supuesto, esto es un método aproximativo. Para poder emplearlo, necesitamos conocer las condiciones de contorno del montaje eléctrostático. Además, la ecuación anterior sirve exclusivamente para puntos equidistantes, en caso de ser una superficie irregular o tomando puntos a distintas distancias tendríamos que trabajar desde las cuatro ecuaciones de los potenciales. Aún así, los resultados que se obtienen mediante este método son muy buenos, por ejemplo, en una construcción consistente en una pieza con forma de U conectada a masa y una tapa conectada a un voltaje dado.
Para empezar, habría que hallar el potencial del punto central, ya que se conocen los de las cuatro paredes. Después nos quedan delimitados 4 cuadrados, de los cuales podemos hallar el potencial del centro. Nuevamente, entre el potencial del centro del montaje, dos centros de los anteriores cuadrados y una de las paredes podemos hallar nuevamente los potenciales de otros cuatro centros. Iterando este proceso las veces que veamos necesario llegaremos a una buena aproximación del potencial eléctrico del sistema.
En este ejemplo, obtendríamos para los puntos 1, 2 y 3 valores del campo de unos 2,5 4,38 y 5,37 respectiva y aproximadamente. Valores que tampoco difieren mucho del valor real cuya obtención exacta es un trabajo mucho más laborioso.
En esencia, este sería el algoritmo y un ejemplo de uso. También se puede realizar de otra forma más pesada, que consiste en dibujar la red entera y calcular el potencial en cada uno de los puntos de forma ordenada. Y cuando se ha terminado volver a recalcular los potenciales hasta que la variación sea mínima. Este proceso se puede automatizar mediante un programa de ordenador, (Por esto lo del carnaval de informática (^_^)) el cuál aquí os traigo. Está programado en C y es muy básico, si alguien quiere que lo modifique o añada alguna cosa que avise.
Bueno, y esto es todo. Espero que os haya servido/gustado/lo que sea. Hasta la próxima \(^_^)
Información extraída de:
Apuntes de Técnicas experimentales I de la Universidad de Zaragoza.
Electromagnetismo de Victoriano López Rodriguez.
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